Доходность облигации методом линейной интерполяции. Доходность облигаций: простыми словами. Купонная доходность - это проценты инвестора

1.8. Внутренняя доходность облигации.

Временная структура процентных ставок.

Анализ финансовых инвестиций в условиях определенности будем изучать на примере ценных бумаг с фиксированным доходом. Наиболее распространенным видом таких ценных бумаг являются облигации.

Облигация – это обязательство выплатить в определенные моменты времени в будущем заранее установленные денежные суммы. Основные параметры облигации – номинальная цена (номинал), дата погашения, размеры и сроки платежей по облигации. С момента эмиссии и до погашения облигации продаются и покупаются на фондовом рынке. Рыночная цена облигации устанавливается на основе спроса и предложения и может быть равна ее номиналу, выше или ниже номинала.

Будем рассматривать облигации в условиях определенности: эмитент не может отозвать облигацию до установленной даты погашения, платежи по облигации задаются фиксированными значениями в определенные моменты времени. При этом поступление будущих доходов точно в указанные сроки и в полном объеме считается гарантированным. Про такие облигации говорят, что они не имеют кредитного риска. Основным фактором риска остается процентный риск – риск изменения рыночных процентных ставок.

Рассмотрим облигацию, по которой через t 1 , t 2 ,…, t n лет от текущего момента времени t = 0, где 0 < t 1 < t 2 <…< t n , обещают выплатить денежные суммы С 1 , С 2 ,…, С n соответственно. Очевидно, что C i > 0, i = 1, 2,…, n . Пусть P – рыночная стоимость облигации в момент t = 0. Тогда естественно считать, что P < С 1 + С 2 +…+ С n . Момент времени t = 0 – это момент, в который предполагается произвести инвестицию в облигацию или момент покупки облигации. Момент времени t = t n , когда выполняется последний платеж по облигации, называют моментом погашения облигации, а срок T = t n (в годах) – сроком до погашения. Два показателя в основном интересуют инвестора – доходность и цена облигации. Внутренняя доходность – самый важный и наиболее широко используемый показатель оценки облигации. Известен также как доходность к погашению .

Определение. Годовая внутренняя доходность облигации r – это годовая ставка сложных процентов, по которой современная стоимость потока платежей по облигации равна рыночной стоимости облигации в момент t = 0:

Здесь внутренняя доходность облигации определяется как годовая доходность денежного потока С 1 , С 2 ,…,С n , стоимость которого P (см. параграф 1.4).

В зарубежной практике существует рыночное соглашение, согласно которому если платежи по облигации выплачиваются через равные промежутки времени m раз в году, то для дисконтирования членов денежного потока применяется годовая номинальная ставка внутренней доходности j :

.

Свойства внутренней доходности облигации.

1. Ставка внутренней доходности облигации равна преобладающей рыночной процентной ставке для инвестиций в альтернативные финансовые инструменты с такой же степенью риска. Или короче – ставка внутренней доходности облигации равна доходности сравнимых с ней инструментов.

2. Годовая внутренняя доходность облигации – это ставка доходности, получаемая инвестором, если выполняются два условия:

1) инвестор владеет облигацией до момента ее погашения t = t n ;

2) все платежи по облигации реинвестируются по ставке, равной внутренней доходности облигации r в момент ее покупки.

Покажем, что при выполнении этих условий среднегодовая доходность инвестиции в облигацию равна ее внутренней доходности. Покупку облигации, затем владение ею до момента погашения с реинвестированием поступающих доходов будем рассматривать как финансовую операцию (см. параграф 1.2). Срок операции T = t n лет. Денежная оценка начала операции P (0) – это рыночная цена покупки облигации P в момент t = 0. Согласно (8.1), P =
. Денежная оценка момента погашения облигации t = t n для инвестора при выполнении условий 1), 2) – это сумма P (t n ) =
. Согласно определению доходности финансовой операции (2.2):

P (t n ) = P
,

где - среднегодовая доходность инвестиции в облигацию на срок T = t n лет. Подставим в это равенство выражения для P и P (t n ):

=

.

Откуда получаем r = .

Таким образом, среднегодовая доходность инвестиции в облигацию, равная r , реализуется в день погашения облигации при выполнении условий 1), 2). Отсюда другое название внутренней доходности – доходность к погашению. Если пункты 1) или 2) не выполняются, то реальная доходность, получаемая инвестором, может быть выше или ниже внутренней доходности облигации. Риск, с которым сталкивается инвестор при покупке облигации, – это риск того, что будущие ставки реинвестирования будут ниже ставки внутренней доходности. Этот риск называется реинвестиционным риском, или риском ставки реинвестирования.

Внутренняя доходность облигации используется для оценки привлекательности альтернативных инструментов инвестирования. При прочих равных условиях, чем выше доходность к погашению облигаций данного выпуска, тем более привлекательным он является.

Рассмотрим задачу определения внутренней доходности облигации. Внутренняя доходность облигации – это решение уравнения (8.1). Согласно теореме 4.1, это уравнение при выполнении условия P < С 1 + С 2 +…+ С n имеет единственное положительное решение. Это решение находят, используя приближенные методы. Один из них – метод линейной интерполяции (изложен в параграфе 1.4, примеры 4.2, 4.4).

Пример 8.1. Определить годовую внутреннюю доходность r облигации, поток платежей по которой указан в таблице:

Приближенное значение внутренней доходности облигации найдем методом линейной интерполяции. Согласно определению годовой внутренней доходности облигации

.

Необходимо найти решение уравнения F (r ) = 0, где

F (r ) =
.

Так как 948 < 50 + 1050, то согласно теореме 4.1 существует единственное положительное решение этого уравнения. Так как F (0,07) = – 15,8396, F (0,08) = 1,4979, то искомая внутренняя доходность r (0,07; 0,08). По формуле (4.8) находим первое приближение

r л1 = 0,07 + .

При этом значение функции F (r л1) = 0,02567 > 0. Значит, решение r (0,07; 0,07914). Следующий шаг метода дает

r л2 = 0,07 + .

Поэтому можно считать, что r 0,07913 или 7,913 % с точностью до третьего знака после запятой.

Определение. Облигация называется чисто дисконтной, если по этой облигации производится только одна выплата.

Определение. Внутренняя доходность чисто дисконтной облигации без кредитного риска, срок до погашения которой t лет, называется годовой безрисковой процентной ставкой для инвестиций на t лет. Другое название – годовая спот-ставка .

Пусть А – погашаемая сумма по чисто дисконтной облигации, t лет - срок до погашения, Р – рыночная цена облигации в момент t = 0, r (t ) – внутренняя доходность облигации. Тогда согласно определению внутренней доходности облигации,

.

(8.2)

– годовая безрисковая процентная ставка для инвестиций на t лет.

В качестве примера чисто дисконтных облигаций, не имеющих кредитного риска, можно привести бескупонные облигации Казначейства США. Доходности казначейских бумаг служат эталоном при оценке всех видов облигаций.

Рассмотрим, как можно оценить любую облигацию, если на рынке имеются чисто дисконтные облигации. Пусть на рынке имеется облигация В без кредитного риска, по которой через t 1 , t 2 ,…, t n лет обещают выплатить денежные суммы С 1 , С 2 ,…, С n соответственно. Облигацию В можно оценить, если рассматривать ее как портфель из чисто дисконтных облигаций В 1 , В 2 ,…, В n со сроками погашения через t 1 , t 2 ,…, t n лет соответственно. Предположим, выполняются следующие условия:

1) известны годовые безрисковые процентные ставки r (t 1), r (t 2), …, r (t n ) для инвестиций на t 1 , t 2 ,…, t n лет, отсчитанных от момента t = 0;

2) чисто дисконтные облигации В 1 , В 2 ,…, В n можно приобрести на рынке в любом количестве без трансакционных расходов. Тогда для этих облигаций имеем

,

i = 1, 2, …, n , где P i – текущая рыночная цена одной облигации i – го вида, A i – погашаемая сумма по этой облигации, r (t i ) - ее внутренняя доходность. Платеж С 1 от портфеля погашается облигациями В 1 , платеж С 2 – облигациями В 2 , и т.д., платеж С n – облигациями В n . Тогда в портфеле , i = 1, 2, …, n , облигаций каждого вида. Следовательно, стоимость портфеля в момент t = 0 равна

.

Тогда рыночная стоимость облигации В в момент t = 0 составляет

. (8.3)

Каждый платеж по облигации В индивидуально дисконтируется по соответствующей безрисковой процентной ставке.

Определение. Набор годовых безрисковых процентных ставок r (t 1), r (t 2), …, r (t n ) для инвестиций на t 1 , t 2 ,…, t n лет, отсчитанных от момента t = 0, где
, называется временной структурой процентных ставок.

Таким образом, если известна временная структура процентных ставок, то стоимость облигации, не имеющей кредитного риска, может быть рассчитана по формуле (8.3).

Определение. График функции r = r (t ), где r (t ) - годовая безрисковая процентная ставка для инвестиций на t лет, называется кривой доходностей (или кривой спот-ставок).

В условиях реального рынка всегда существует лишь конечный набор чисто дисконтных облигаций (например, не существует бескупонных долговых обязательств Казначейства США со сроком погашения больше одного года). Поэтому кривую доходностей невозможно построить только по наблюдениям на рынке. В связи с этим строят теоретическую кривую доходностей. Для этого, используя доходности реально существующих чисто дисконтных облигаций, рассчитывают теоретические значения доходностей для различных сроков инвестирования. Существует несколько методов получения теоретических значений доходностей. Один из них называется «процедурой бутстреппа». Рассмотрим этот метод на примере.

Пример 8.2. На рынке имеются государственные облигации А, В, С, D, Е, потоки платежей по которым и цены в момент t = 0 указаны в таблице:

А и В – чисто дисконтные облигации. Их внутренние доходности r (0,5) = 5,25 % и r (1) = 6,3 %, определенные по формуле (8.2), являются безрисковыми процентными ставками для инвестиций на 0,5 года и 1 год. Зная эти две ставки, можно вычислить теоретическую безрисковую процентную ставку для инвестиций на 1,5 года, используя облигацию С. Цена облигации С по формуле (8.3) равна

118,71 =
,

где r (0,5) = 0,0525, r (1) = 0,063. Тогда

118,71 =
.

Откуда получаем теоретическую годовую безрисковую процентную ставку для инвестиций на 1,5 года: r (1,5) = 6,9 %. Данная ставка – это та ставка, которую предлагал бы рынок по 1,5 - годовым чисто дисконтным облигациям, если бы такие ценные бумаги существовали на самом деле.

Зная теоретическую 1,5 – годовую безрисковую процентную ставку, можно вычислить теоретическую двухлетнюю безрисковую процентную ставку, используя облигацию D:

Откуда r (2) = 7,1 % - теоретическая двухлетняя безрисковая процентная ставка. Применяя еще раз описанную процедуру для облигации E, определяем теоретическую 2,5 - летнюю безрисковую процентную ставку: r (2,5) = 7,9 %.

Безрисковые процентные ставки r (0,5), r (1), r (1,5), r (2), r (2,5), построенные с помощью такого процесса, задают временную структуру процентных ставок по 2,5 - летнему диапазону относительно момента времени, к которому относятся цены облигаций.

Зная временную структуру процентных ставок r (t 1), r (t 2), …, r (t n ), можно построить кривую доходностей. Один из методов построения кривой – линейное интерполирование. Полагают

,
, i = 1, 2, …, n – 1. (8.4)

К
ривая доходностей для временной структуры, полученной в примере 8.2, при использовании линейного интерполирования имеет вид:

Пользуясь кривой доходностей, можно определить приближенное значение безрисковой процентной ставки для инвестиций на любой срок от t 1 до t n лет. Например, так как 1,25
, то

r (1,25) r (1)
= 0,066.

Другой способ построения кривой доходностей – интерполирование (n – 1) – го порядка:

r (t )

+
(8.5)

…………………..

+
,

где t [t 1 , t n ]. Тогда r (t ) – многочлен степени (n – 1) относительно переменной t . При t = t 1 , t 2 , …, t n значения многочлена совпадают с r (t 1), r (t 2), …, r (t n ) соответственно. Уравнение кривой доходностей для временной структуры, полученной в примере 8.2, имеет вид:

r (t ) 0,00633 t 4 - 0,031 t 3 + 0,04442 t 2 - 0,00325 t + 0,0465, где t .

Пользуясь полученной кривой, вычислим стоимость облигации без кредитного риска, платежи по которой относительно момента t = 0 указаны в таблице:

Рыночная стоимость данной облигации в момент t = 0 составляет, согласно (8.3):

P =
.

Приближенные значения годовых безрисковых процентных ставок для инвестиций на 0,7 года и 1,7 года равны соответственно:

r (0,7) 0,00633(0,7) 4 - 0,031(0,7) 3 + 0,04442(0,7) 2 - 0,003250,7 + 0,0465 = 0,0569,

r (1,7) 0,00633(1,7) 4 - 0,031(1,7) 3 + 0,04442(1,7) 2 - 0,003251,7 + 0,0465 = 0,0699.

Тогда рыночная стоимость данной облигации

P =
= 112,14.

Рассмотренная «процедура бутстреппа» получения теоретических значений безрисковых процентных ставок может быть использована, если на рынке имеются подходящие для этой процедуры облигации. Рассмотрим еще один метод получения теоретических значений процентных ставок.

Предположим, известна временная структура процентных ставок r (t 1), r (t 2), …, r (t k ) для инвестиций на t 1 , t 2 ,…, t k лет, а на рынке имеется облигация без кредитного риска стоимостью P , по которой через t 1 , t 2 ,…, t k , t k + 1 , …, t n лет обещаны выплаты С 1 , С 2 ,…, С k , С k +1 ,…, С n соответственно. Приближенные значения безрисковых процентных ставок r (t k +1), r (t k +2), …, r (t n ) можно найти, используя линейную интерполяцию на отрезке [t k , t n ]. Для этого полагают r (t n ) = r. Безрисковая процентная ставка r (t k ) известна. Тогда

,

,

……………….. (8.6)

,

r (t n ) = r ,

где t k + 1 , t k + 2 , …, t n – 1 [t k , t n ].

Так как стоимость облигации P в момент t = 0 известна, то

Подставляя в это выражение вместо r (t k + 1), r (t k + 2), …, r (t n ) равенства (8.6), получим уравнение с одним неизвестным r . Решение этого уравнения находим методом линейной интерполяции. Зная r , по формулам (8.6) находим безрисковые процентные ставки r (t k +1), r (t k + 2), …, r (t n ). Таким образом, имеем временную структуру процентных ставок r (t 1), r (t 2), …, r (t k ), r (t k +1),…, r (t n ) по t n – летнему диапазону относительно момента t = 0.

Пример 8.3. Используя линейное интерполирование, построить кривую доходностей, если известны годовые безрисковые процентные ставки:

r (0,5) = 0,06; r (1) = 0,07; r (1,5) = 0,08

и дана облигация (без кредитного риска) со следующим потоком платежей:

Уравнение (8.7) для данной облигации имеет вид:

Используем линейное интерполирование на отрезке . Так как r (1,5) = 0,08, r (2,5) = r , то r (2)0,08
+ r
= 0,04 + 0,5 r . Тогда достаточно решить уравнение

86,01581 =
.

Решая это уравнение методом линейной интерполяции, найдем r 0,10489.

Следовательно, r (2) 0,04 + 0,5 r = 0,09245, r (2,5)0,10489. Таким образом, по заданным r (0,5) = 0,06; r (1) = 0,07; r (1,5) = 0,08 и вычисленным

r (2) 0,092; r (2,5)0,105 значениям безрисковых процентных ставок можно построить кривую доходностей:

Кривая доходностей, полученная для облигаций, не имеющих кредитного риска, используется также для оценки рискованных инструментов на рынке. Теоретические значения безрисковых процентных ставок с добавлением премии за риск используются для оценки всех видов облигаций. Кроме того, форма кривой доходностей рассматривается как отображение вероятного направления будущих изменений процентных ставок денежного рынка. На рис. 1.8.3 показаны четыре основные формы кривой доходностей: 1 – нормальная (возрастающая) кривая; 2 – обратная (убывающая) кривая; 3 – «горбатая» кривая; 4 – плоская (горизонтальная) кривая.

Есть две основные теории, объясняющие форму кривых доходностей, – теория ожиданий и теория сегментации рынка . Возрастающая кривая чаще всего означает предполагаемый рост темпа инфляции. Убывающая кривая чаще всего свидетельствует об ожидаемом снижении темпа инфляции. Горизонтальная кривая доходностей означает, что годовые безрисковые процентные ставки для инвестиций на все сроки одинаковы. Горизонтальная кривая используется при изучении ряда важнейших понятий теории финансовых инвестиций с фиксированным доходом. Например таких, как дюрация и показатель выпуклости облигации, стоимость инвестиции в облигацию, иммунизация портфеля облигаций.

Задача 1. Номинальная стоимость обычной облигации N = 5000 руб. Купонная процентная ставка c = 15%, оставшийся срок до погашения облигации n = 3 года, текущая рыночная процентная ставка i = 18%. Определить текущую рыночную стоимость облигации.

Задача 2. Определить текущую стоимость трехлетней облигации с номиналом в 1000 ед. и годовой купонной ставкой 8%, выплачиваемых раз в квартал, если норма доходности (рыночная ставка) равна 12%.

Задача 3. Определить текущую стоимость 100 ед. номинала облигации со сроком обращения 100 лет, исходя из требуемой нормы доходности в 8,5%. Ставка купона равна 7,72%, выплачиваемых раз в полгода. (Облигация – бессрочная).

Задача 4. Какую цену заплатит инвестор за бескупонную облигацию с номиналом в 1000 ед. и погашением через три года, если требуемая норма доходности равна 4,4%.

Задача 5. Облигация банка имеет номинал 100 000 ед. и срок погашения через 3 года. Ставка купона по облигации равна 20% годовых, начисляемых один раз в год. Определить стоимость облигации, если требуемая доходность инвестора равна 25%, а купонный доход накапливается и выплачивается вместе с номиналом в конце срока обращения.

Задача 6. Вечные облигации с купоном 6% от номинала и номиналом 200 ден.ед. должны обеспечить инвестору доходность в размере 12% годовых. По какой максимальной цене инвестор купит данный финансовый инструмент?

Задача 7. Вы являетесь держателем облигации номиналом $5000, приносящей неизменный ежегодный доход в размере $100 на протяжении 5 лет. Текущая процентная ставка составляет 9%. Рассчитайте текущую стоимость облигации.

Задача 8. Оценить рыночную стоимость предполагаемой для публичного обращения муниципальной облигации, номинальная стоимость которой равна 100 руб. До погашения облигации остается 2 года. Номинальная ставка процента по облигации (используемая для расчета годового купонного дохода в процентах от её номинальной стоимости) – 20%, купонный доход выплачивается ежеквартально. Доходность сопоставимых по рискам (также безрисковых для держания и того же срока погашения) государственных облигаций – 18%.

Задача 9. Оценить рыночную стоимость предполагаемой для публичного обращения муниципальной облигации, номинальная стоимость которой равна 200 руб. До погашения облигации остается 3 года. Номинальная ставка процента по облигации (используемая для расчета годового купонного дохода в процентах от её номинальной стоимости) – 15%. Доходность сопоставимых по рискам (также безрисковых для держания и того же срока погашения) государственных облигаций – 17%.

Задача 10. Фирма объявляет о выпуске облигаций номиналом 1000 тыс. руб. с купонной ставкой 12% и сроком погашения 16 лет. По какой цене будут продаваться эти облигации на эффективном рынке капитала, если требуемая доходность инвесторов на облигации с данным уровнем риска составляет 10%?

Задача 11. Фирма выпускает облигации номиналом 1000 тыс. руб., купонной ставкой 11%. Требуемая доходность инвесторов 12%. Рассчитайте сегодняшнюю ценность облигации при сроках погашения облигации: а) 30 лет; б) 15 лет; в) 1 год.

Задача 12. Номинал облигации - 1200 руб., срок до погашения - 3 года, купонная ставка - 15%, выплата купона - 1 раз в год. Необходимо найти внутреннюю стоимость облигации, если приемлемая для инвестора ставка доходности составляет 20% годовых.

Задача 13. Номинал облигации - 1500 руб., срок до погашения - 3 года, купонная ставка - 12%, выплата купона - 2 раза в год. Необходимо найти внутреннюю стоимость облигации, если приемлемая для инвестора ставка доходности составляет 14% годовых.

Задача 14. Условия выпуска облигации: срок 5 лет, купонная доходность - 8%, выплаты полугодовые. Ожидаемая средняя рыночная доходность - 10,5% годовых. определите текущий курс облигации.

Задача 15. Имеется два варианта условий обращения облигаций. Купонные ставки равны 8% и 12%, сроки 5 и 10 лет. Ожидаемая рыночная ставка доходности 10%. Купонный доход накапливается и выплачивается в конце срока обращения вместе с номиналом. Выберете самый дешевый вариант.

Доходность облигации

Задача 16. Имеются две 3-летние облигации. Облигация D с купоном 11% продается по курсу 91,00. Облигация F с купоном 13% продается по номиналу. Какая облигация предпочтительнее?

Задача 17. Купонная 3-летняя облигация А с номиналом 3 тыс. руб. продается по курсу 0,925. Предусмотрена выплата купона 1 раз в год в размере 360 руб. Купонная 3-летняя облигация Б с купоном 13% продается по номиналу. Какая облигация предпочтительнее?

Задача 18. Номинальная стоимость бескупонной облигации 1000 руб. Текущая рыночная стоимость - 695 руб. Срок погашения 4 года. Ставка депозита - 12%. Определить целесообразность приобретения облигации.

Задача 19. Облигация номинальной стоимостью N = 1000 руб. с купонной ставкой c = 15% была куплена в начале года за 700 руб. (по цене ниже номинала). После получения купонного платежа в конце года облигация была продана за 750 руб. Определить доходность операции за год.

Задача 20. Облигация номинальной стоимостью 1000 руб. с купонной ставкой 15% и сроком погашения 10 лет была куплена за 800 руб. Определить доходность облигации методом интерполяции.

Задача 21. Облигация номинальной стоимостью 1500 руб. с купонной ставкой 12% (полугодовое начисление) и сроком погашения 7 лет была куплена за 1000 руб. Определить доходность облигации методом интерполяции.

Задача 22. Бессрочная облигация, приносящая 20% купонный доход, куплена по курсу 95. Определите финансовую эффективность инвестиций при условии, что проценты выплачиваются: а) 1 раз в году, и б) ежеквартально.

Задача 23. Корпорация выпустила облигации с нулевым купоном с погашением через 5 лет. Курс реализации – 45. Определите доходность облигации на дату погашения.

Задача 24. Облигация, приносящая 10% годовых относительно номинала, куплена по курсу 60, срок до погашения – 2 года. Определите полную доходность для инвестора, если номинал и проценты выплачиваются в конце срока обращения.

Задача 25. Выпущена облигация с нулевым купоном со сроком погашения 10 лет. Курс облигации – 60. Найти полную доходность на дату погашения.

Задача 26. Облигация с доходом 15% годовых от номинала, курсом 80, сроком до погашения 5 лет. Найти полную доходность, если номинал и проценты выплачиваются в конце срока погашения.

Задача 27. Облигация со сроком до погашения 6 лет с процентной ставкой 10% куплена по курсу 95. Найти полную доходность методом интерполяции.

Задача 28. Текущий рыночный курс облигации - 1200 руб., номинал облигации - 1200 руб., срок до погашения - 3 года, купонная ставка - 15%, купонные выплаты ежегодные. Определить полную доходность облигации методом средних и методом интерполяции.

Задача 29. Пятилетняя облигация, проценты по которой выплачиваются раз в году по ставке 8%, куплена по курсу 65. Определите текущую и полную доходность.

Задача 30. Купонная 5-летняя облигация W с номиналом 10 тыс. руб. продается по курсу 89,5. Предусмотрена выплата купона 1 раз в год в размере 900 руб. Купонная 6-летняя облигация V с купоном 11% продается по номиналу. Какая облигация предпочтительнее?

Оценка риска облигаций

Задача 31. Рассматривается возможность приобретения облигаций ОАО, текущая котировка которых – 84,1. Облигация имеет срок обращения 6 лет и ставку купона 10% годовых, выплачиваемых раз в полгода. Рыночная ставка доходности равна 12%.

в) Как повлияет на ваше решение информация о том, что рыночная ставка доходности выросла до 14%?

Задача 32. ОАО выпустило 5-летние облигации со ставкой купона 9% годовых, выплачиваемых раз в полгода. Одновременно были выпущены 10-летние облигации ОАО с точно такими же характеристиками. Рыночная ставка на момент эмиссии обеих облигаций составляла 12%.

Задача 33. ОАО выпустило 6-летние облигации со ставкой купона 10% годовых, выплачиваемых раз в полгода. Одновременно были выпущены 10-летние облигации ОАО со ставкой купона 8% годовых, выплачиваемых раз в год. Рыночная ставка на момент эмиссии обеих облигаций составляла 14%.

а) По какой цене были размещены облигации предприятий?

б) Определите дюрации обеих облигаций.

Задача 34. Рассматривается возможность приобретения еврооблигаций ОАО. Дата выпуска – 16.06.2008. Дата погашения – 16.06.2018. Купонная ставка – 10%.Число выплат – 2 раза в год. Требуемая норма доходности (рыночная ставка) – 12% годовых. Сегодня 16.12.2012. Средняя курсовая цена облигации – 102,70.

б) Как изменится цена облигации, если рыночная ставка: а) возрастет на 1,75%; б) упадет на 0,5%.

Задача 35. Начальная цена 5-летней облигации – 100 тыс. руб., купонная ставка 8% годовых (выплачивается раз в квартал), доходность – 12%. Как изменится цена облигации если доходность увеличится до 13%.

Задача 36. Нужно выплатить через три года 200 000 долл. за счет портфеля облигаций. Дюрация этой выплаты составляет 3 года. До­пустим, можно инвестировать средства в облигации двух видов:

1) бескупонные облигации со сроком погашения 2 года (текущий курс - 857,3 долл., номинал - 1000 долл., ставка помеще­ния - 8%);

2) облигации со сроком погашения 4 года (купонная ставка – 10%, номинал - 1000 долл., текущий курс - 1066,2 долл., ставка помещения - 8%).

Задача 37. Рассматривается возможность приобретения облигаций ОАО, текущая котировка которых – 75,9. Облигация имеет срок обращения 5 лет и ставку купона 11% годовых, выплачиваемых раз в полгода. Рыночная ставка доходности равна 14,5%.

а) Является ли покупка облигации выгодной операцией для инвестора?

б) Определите дюрацию облигации.

в) Как повлияет на ваше решение информация о том, что рыночная ставка доходности снизилась до 14%?

Задача 38. ОАО выпустило 4-летние облигации со ставкой купона 8% годовых, выплачиваемых раз в квартал. Одновременно были выпущены 8-летние облигации ОАО со ставкой купона 9% годовых, выплачиваемых раз в полгода. Рыночная ставка на момент эмиссии обеих облигаций составляла 10%.

а) По какой цене были размещены облигации предприятий?

б) Определите дюрации обеих облигаций.

в) Вскоре после выпуска рыночная ставка выросла до 14%. Стоимость какой облигации изменится больше?

Задача 39. ОАО выпустило 5-летние облигации со ставкой купона 7,5% годовых, выплачиваемых раз в квартал. Одновременно были выпущены 7-летние облигации ОАО со ставкой купона 8% годовых, выплачиваемых раз в полгода. Рыночная ставка на момент эмиссии обеих облигаций составляла 12,5%.

а) По какой цене были размещены облигации предприятий?

б) Определите дюрации обеих облигаций.

в) Вскоре после выпуска рыночная ставка снизилась до 12%. Стоимость какой облигации изменится больше?

Задача 40. Рассматривается возможность приобретения облигаций ОАО. Дата выпуска – 20.01.2007. Дата погашения – 20.01.2020. Купонная ставка – 5,5%.Число выплат – 2 раза в год. Требуемая норма доходности (рыночная ставка) – 9,5% годовых. Сегодня 20.01.2013. Средняя курсовая цена облигации – 65,5.

а) Определите дюрацию этой облигации на дату совершения сделки.

б) Как изменится цена облигации, если рыночная ставка: а) возрастет на 2,5%; б) упадет на 1,75%.

Задача 41. Номинал 16-летней облигации – 100 руб., купонная ставка 6,2% годовых (выплачивается раз в год), доходность – 9,75%. Как изменится цена облигации если доходность увеличится до 12,5%. Осуществите анализ с помощью дюрации и выпуклости.

Задача 42. Нужно выплатить через три года 50 000 долл. за счет портфеля облигаций. Дюрация этой выплаты составляет 5 лет. На рынке имеется возможность инвестировать средства в облигации двух видов:

1) бескупонные облигации со сроком погашения 3 года (текущий курс - 40 долл., номинал - 50 долл., ставка помеще­ния - 12%);

2) облигации со сроком погашения 7 лет (купонная ставка – 4,5%, купонный доход выплачивается раз в полгода, номинал - 50 долл., текущий курс - 45 долл., ставка помещения - 12%).

Составьте иммунизированный портфель облигаций. Определите общую стоимость и количество приобретаемых облигаций.

Задача 43. Номинал 10-летней облигации – 5000 руб., купонная ставка 5,3% годовых (выплачивается раз в год), доходность – 10,33%. Как изменится цена облигации если доходность увеличится до 11,83%. Осуществите анализ с помощью дюрации и выпуклости.

Задача 44. Рассматривается возможность приобретения облигаций ОАО, текущая котировка которых – 65,15. Облигация имеет срок обращения 5 лет и ставку купона 4,5% годовых, выплачиваемых раз в квартал. Рыночная ставка доходности равна 9,75%.

а) Является ли покупка облигации выгодной операцией для инвестора?

б) Определите дюрацию облигации.

в) Как повлияет на ваше решение информация о том, что рыночная ставка доходности выросла до 12,25%?

Задача 45. Нужно выплатить через три года 100 000 долл. за счет портфеля облигаций. Дюрация этой выплаты составляет 4 года. На рынке имеется возможность инвестировать средства в облигации двух видов:

1) бескупонные облигации со сроком погашения 2,5 года (текущий курс - 75 долл., номинал - 100 долл., ставка помеще­ния - 10%);

2) облигации со сроком погашения 6 лет (купонная ставка – 6,5%, купонный доход выплачивается раз в квартал, номинал - 100 долл., текущий курс - 85 долл., ставка помещения - 10%).

Составьте иммунизированный портфель облигаций. Определите общую стоимость и количество приобретаемых облигаций.

1. Аньшин В.М. Инвестиционный анализ. - М.: Дело, 2002.

2. Галанов В.А. Рынок ценных бумаг: учебник. - М.: ИНФРА-М, 2007.

3. Ковалев В.В. Введение в финансовый менеджмент. - М.: Финансы и статистика, 2007

4. Справочник финансиста в формулах и примерах / А.Л. Зорин, Е.А. Зорина; Под ред. Е.Н. Ивановой, О.С. Илюшиной. - М.: Профессиональное издательство, 2007.

5. Финансовая математика: математическое моделирование финансовых операций: учеб. пособие / Под ред. В.А. Половникова и А.И. Пилипенко. - М.: Вузовский учебник, 2004.

6. Четыркин Е.М. Облигации: теория и таблицы доходности. - М.: Дело, 2005.

7. Четыркин Е.М. Финансовая математика. – М.: Дело, 2011.

11.2. Измерение доходности облигаций

Доходность облигаций. Доходность облигаций характеризуется несколькими показателями. Различают купонную (coupon rate), тек ущую (current, running yield) и полную доходность (yield to maturity, redemption yield, yield).

Купонная доходность определена при выпуске облигации, и, следовательно, нет необходимости ее рассчитывать. Текущая доходность характеризует отношение поступлений по купонам к цене приобретения облигации. Этот параметр не учитывает второй источник дохода - получение номинала или выкупной цены в конце срока. Поэтому он непригоден при сравнении доходности разных видов облигаций. Достаточно отметить, что у облигаций с нулевым купоном текущая доходность равна нулю. В то же время они могут быть весьма доходными, если учитывать весь срок их "жизни".

Наиболее информативным является показатель полной доходности, который учитывает оба источника дохода. Именно этот показатель пригоден для сравнения доходности инвестиций в облигации и другие ценные бумаги. Итак, полная доходность, или, если применить старую коммерческую терминологию, ставка помещения, измеряет реальную эффективность инвестиций в облигацию для инвестора в виде годовой ставки сложных процентов. Иначе говоря, начисление процентов по ставке помещения на цену приобретения облигации полностью обеспечивает выплату купонного дохода и сумму для погашения облигации в конце срока.

Рассмотрим методику определения показателей доходности различных видов облигаций в той последовательности, которая принята выше при классификации облигаций по способу выплаты дохода.

Облигации без обязательного погашения с периодической выплатой процентов. Хотя подобного вида облигации встречаются крайне редко, знакомство с ними необходимо для получения полного представления о методике измерения доходности. При анализе данного вида облигаций выплату номинала в необозримом будущем во внимание не принимаем.

Введем следующие обозначения:

g - объявленная норма годового дохода (купонная ставка процента);

i t - текущая доходность;

i - полная доходность (ставка помещения).

Текущая доходность находитсяследующим образом:

i t = 100. (11.2)

Если по купонам выплата производится р раз в году (каждый раз по ставке g / p ), то и в этом случае на практике применяется «формула (11.2), хотя суммирование доходов, выплачиваемых в разные моменты времени, строго говоря, некорректно.

Поскольку купонный доход постоянен, то текущая доходность продаваемых облигаций изменяется вместе с изменением их рыночной цены. Для владельца облигации, который уже инвестировал некоторые средства, эта величина постоянна.

Перейдем к полной доходности. Поскольку доход по купонам является единственным источником текущих поступлений, то очевидно, что полная доходность у рассматриваемых облигаций равна текущей в случае, когда выплаты по купонам - ежегодные: i = i t . Если же проценты выплачиваются р раз в году (каждый раз по норме g/ p ), то согласно (2.8) получим

(11.3)

Пример 11.1. Вечная рента, приносящая 4,5% дохода, куплена по курсу 90. Какова финансовая эффективность инвестиции при условии, что проценты выплачиваются раз в году, поквартально (p = 4)?

i = i t = 100 = 0,05; i = - 1 = 0,0509.

Облигации без выплаты процентов. Данный вид облигации обеспечивает ее владельцу в качестве дохода разность между номиналом и ценой приобретения. Курс такой облигации всегда меньше 100. Для

определения ставки помещения приравняем современную стоимость номинала цене приобретения:

Nv n = P , или v n = ,

где n - срок до выкупа облигации. После чего получим

Пример 11.2. Корпорация X выпустила облигации с нулевым купоном с погашением через пять лет. Курс реализации - 45. Доходность облигации на дату погашения

т.е. облигация обеспечивает инвестору 17,316% годового дохода.

Облигации с выплатой процентов и номинала в конце срока. Проценты здесь начисляются за весь срок и выплачиваютсяодной суммой (lump sum) вместе с номиналом. Купонного доходанет. Поэтому текущую доходностьусловно можно считать нулевой, поскольку соответствующие проценты получают в конце срока.

Найдем полную доходность,приравняв современную стоимость доходацене облигации:

(1 + g ) n Nv n = P , или .

Из последней формулы следует, что

Если курс облигации меньше 100, то i > g .

Пример 11.3. Облигация, приносящая 10% годовых относительно номинала, куплена по курсу 65, срок до погашения - три года. Если номинал и проценты выплачиваются в конце срока, то полная доходность для инвестора составит

i = - 1 = 0,26956, или 26,956%.

Облигации с периодической выплатой процентов и погашением номинала в конце срока. Этот вид облигаций получил наибольшее распространение в современной практике. Для такой облигации можно получить все три показателя доходности - купонную, текущую и полную. Текущая доходность рассчитывается по полученной выше формуле (11.2). Что касается полной доходности, то для ее определения необходимо современную стоимость всех поступлений приравнять цене облигации. Дисконтированная величина номинала равна Nv n . Поскольку поступления по купонам представляют собой постоянную ренту постнумерандо, то член такой ренты равен gN , а современная ее стоимость составит gNa n ; i (если купоны оплачиваются ежегодно) и , если эти выплаты поизводятся р раз в году (каждый раз по ставке g / p ). В итоге получим следующие равенства:

для облигации с годовыми купонами

(11.6)

Разделив на N , находим

(11.7)

для облигации с погашением купонов по полугодиям и поквартально получим

(11.8)

где - коэффициент приведения p -срочной ренты (р = 2, р = 4).

Во всех приведенных формулах v n означает дисконтный множитель по неизвестной годовой ставке помещения i .

В зарубежной практике, однако, для облигаций с полугодовыми и квартальными выплатами текущего дохода для дисконтирования применяется годовая номинальная ставка помещения, причем число раз дисконтирования в году обычно принимается равным числу выплат купонного дохода. Таким образом, исходное для расчета ставки помещения равенство имеет вид

где i - номинальная годовая ставка;

рп - общее количество купонных выплат; g - годовой процент выплат по купонам.

При решении приведенных выше равенств относительно неизвестной величины i сталкиваются с такими же проблемами, что и при расчете i по заданной величине коэффициента приведения ренты - см. параграф 4.5. Искомые значения ставки помещения рассчитываются или с помощью интерполяции, или каким-либо итерационным методом.

Оценим i с помощью линейной интерполяции:

(11.10)

где i " и i " - нижнее и верхнеезначения ставки помещения, ограничивающие интервал, в пределах которого, как ожидается, находится неизвестное значение ставки;

K " , K " - расчетные значения курса соответственно для ставок i " , i " . Интервал ставок для интерполяции определяется с учетом того, что i > g при K < 100.

Можно применить и метод приближенной оценки, согласно которому

. (11.11)

В этой формуле средний годовой доход от облигации соотносится со средней ее ценой. За простоту расчета, впрочем, приходится платить потерейточности оценки.

Пример 11.4. Облигация со сроком пять лет, проценты по которой выплачиваются один раз в году по норме 8%, куплена по курсу 97.

Текущая доходность по облигации 8/ 97 = 0,08247.

Для оценки полной доходности запишем исходное равенство (11.7):

0,97 = (1 + i ) -5 + 0,08a 5; i .

Для интерполяции примем следующие значения ставок: i " = 0,085, i " = 0,095. Согласно (11.7) находим

1,085 -5 + 0,08а 5;8,5 = 98,03;

= 1,095 -5 + 0,095а 5;9,5 = 94,24.

i = 8,5 + (9,5 - 8,5) = 8,77.

Для проверки рассчитаем курс для ставки помещения 8,77%. Получим

= 1,0877 -5 + 0,08а 5;8,77 = 96,99.

Как видим, расчетный курс весьма близок к рыночному - 97. Приближенное решение по (11.11) дает

i = = 8,73,

что соответствует рыночному курсу 97,2. Погрешность выше, чем при использовании линейной интерполяции.

Облигации с выкупной ценой, отличающейся от номинала. В этом случае проценты начисляются на сумму номинала, а прирост капитала равен С - Р, где С - выкупная цена. Соответственно при оценке ставки помещения необходимо внести соответствующие коррек-

тивы в приведенные выше формулы. Например, внесякоррективы в (11.6) и (11.7), получим

а вместо (11.11)

(11.14)

Пример 11.5. Сравним по доходности две облигации с ежегодными выплатами процентов (табл. 11.1). Параметры облигации A взяты из предыдущего примера.

Таблица 11.1

Показатели доходности для этих облигаций приведены в табл. 11.2.

Таблица 11.2

Как видим, вотношении полной доходности преимущество на стороне облигации A , хотя текущая доходность у нее ниже, чём у второй. Приближенный метод расчета по (11.11) - соответствующиепоказателиприведеныв скобках - заметно завысил оценку показателя полной доходности у облигации Б.

Все рассмотренные выше формулы для расчета полной доходности предполагают, что оценка производится на начало срока облигации или на дату выплаты процентов. Для случая, когда оценка производится на момент между двумя датами выплат процентов, приведенные формулы дадут смещенные оценки.

M.: Дело, 2004. - 280 c.
ISBN 5-7749-0200-5
Скачать (прямая ссылка): invest-analiz.djvu Предыдущая 1 .. 31 > .. >> Следующая

Текущая доходность - отношение купонного дохода к цене приобретения.

Полная доходность (yield to maturity) учитывает купонный доход и доход от погашения (иногда называется ставкой помещения).

Доходность по видам облигаций. /. Облигации без обязательного погашения с периодической выплатой процентов. Если с - купонная ставка, rt - текущая доходность, то

г, = Мс/Р= с 100/К. (9.1)

2. Облигации без выплаты процентов. Доходность образуется как разность между номиналом и ценой приобретения. Курс данной облигации меньше 100.

Баланс операции запишется следующим образом: P = M(I + г)~", где п - срок до погашения облигации, г - полная доходность облигации, (1 + г)~п = А/100;

г « 1 / 4JK /100 - 1. (9 2)

ПРИМЕР. Выпущена облигация с нулевым купоном со сроком погашения 10 лет. Курс облигации - 60. Найти полную доходность на дату погашения.

Решение, г = 1 / (^60/100) -1 - 0,052, или 5,2%.

3. Облигации с выплатой процентов и номинала в конце срока (реинвестирование купонного дохода). Баланс операции: M (1 + с)п (1 + r)~n = P или [(1 + с)/(1 + г)]" = /Г/100;

г«(1+с)/^АГ/100-1. (9 3)

ПРИМЕР. Облигации с доходом 15% годовых от номинала, курсом 80, сроком до погашения 5 лет. Найти полную доходность, если номинал и проценты выплачиваются в конце срока.

Решение, г = (1 +0,15)/^/80/100 -1=0,202, или 20,2%.

4. Облигации с периодической выплатой процентов и погашением номинала в конце срока. Баланс операции:

сМ сМ сМ M

1 + г (1 + г)2 (1 + г)" (1 + г)п "

P= M(I + г)"п + сМ ^j(I + г)"", где / - период от покупки облигаций до выплаты купонного дохода.

Определение неизвестной величины полной доходности может быть произведено тремя методами: так называемым приблизительным методом, методом линейной экстраполяции и методом проб и ошибок.

Для приблизительного метода используется формула

СМ + (M - P)In

(M + P)? КУ "

с + (1 -Ю/п Г--(1-Л)/2 (96)

Для использования метода линейной интерполяции (описание метода приведено в п. 3.6) разделим обе части формулы (9.4) на М:

А/100 = (1 +r)-"+cV, (9.7)

где апг- коэффициент приведения ренты по ставке г за период п.

Полная доходность г может быть найдена методом линейной интерполяции:

где гн и гв - нижняя и верхняя границы полной доходности; Кн и K3 - нижняя и верхняя границы курса, рассчитанного для гн и гъ по формуле (9.7); Кв < К < Кн.

Необходимо отметить, что с ростом доходности курс облигации снижается.

ПРИМЕР. Облигация сроком до погашения 6 лет с процентной ставкой 10% куплена по курсу 95. Найти полную доходность.

Решение. Для определения коэффициентов приведения ренты апг воспользуемся уже известной формулой (3.20).

Положим гИ = 10%, /"в = 15%. Тогда:

KJlOO = 1,10"6 + 0,1 <76;IO = 0,564 + 0,1 4,355 = 0, 99;

Кjm = 1,15"6 + 0,1 я6:15 = 0,432 + 0,1 3,784 = 0,81;

/*= 0,10 + [(0,99 - 0,95)/(0,99 - 0,81)] (0,15 - 0,10) = 0,11.

Проверка: 1,11"6 + 0,1 аь.и = 0,535 + 0,1 4,23 = 0,958.

Метод проб и ошибок заключается в подборе величины г таким образом, чтобы равенство (9.4) (или (9.7)) оказалось верным.

Одним из показателей изменчивости облигации является дюрация. Данный термин является калькой с английского duration, что переводится "продолжительность". Впервые данный показатель исследован Фредериком Макалеем в 1938 г. Он определил этот показатель как средневзвешенный срок к погашению денежного потока ценной бумаги1. Дюрация Макалея рассчитывается по формуле:

где t - срок платежа или элемента денежного потока по облигации; CF1-величина элемента денежного потока по облигации в году /; г - доходность к погашению (полная доходность).

Показатель дюрации Макалея, рассчитанный по формуле (9.9), измеряется в годах.

Следует обратить особое внимание на то, что дисконтирование производится по ставке доходности к погашению, которую первоначально необходимо определить, для чего могут быть использованы рассмотренные выше методы. Кроме того, отметим, что в знаменателе формулы расчета дюрации находится цена облигации, так как

Для облигаций, по которым купонный доход выплачивается т раз в году, формула расчета принимает вид:

9.4. Дюрация

(средняя продолжительность платежей)

2 CF1(I + гГ<

¦2 CZ)(I + г/тГ

The Handbook of Fixed Income Securities. P. 85.

ПРИМЕР. Облигация сроком до погашения 6 лет, купонная ставка - 10%, номинал - 100 долл. Доходность к погашению - 11%.

Таблица 9.2

1
(1 + г)""
CF1
CF1(X + г)""
tCFt(\ + г)-"

I
0,9009
10
9,009
9,009

2
0,8116
10
8,П6
16,232

3
0,7312
10
7,312
21,936

4
0,6587
10
6,587
26,348

5
0,5935
10
5,935
29,675

6
0,5346
по
58,806
352,836

95,765
451,4272

Получаем:

D = 451,4272/95,765 = 4,7 года.

Дюрация может быть рассмотрена также как эластичность цены облигации по изменению процентной ставки (а точнее, величины 1 + г). В общем рассмотрении коэффициент эластичности - это отношение относительного прироста одного показателя к относительному приросту другого показателя. В данном случае этими показателями являются цена облигации и процентная ставка.